Articles

TABLE 1. The latent roots and vectors of the stratigraphically lower (i.e., older, 1810 m) sample of Brizalina.

 

Percentages of the latent roots

1

2

3

4

59.127

37.825

2.051

0.997

Latent vectors by columns

1

2

3

4

0.628

0.000

0.499

0.598

0.182

0.738

-0.580

0.293

0.096

0.623

0.544

-0.554

0.751

-0.259

-0.345

-0.500

 

TABLE 2. The latent roots and vectors of the stratigraphically younger core-sample of Brizalina (i.e., 1718 m)

 

Percentages of the latent roots

1

2

3

4

61.441

29.275

6.181

3.102

Latent vectors by columns

1

2

3

4

0.387

0.651

0.139

-0.638

0.367

-0.134

0.878

0.276

0.764

-0.521

-0.353

-0.145

0.365

0.535

-0.291

0.704

 

TABLE 3. Latent roots and vectors for five taxonomic distance traits (N = 18) for the species of ostracods Neobuntonia airella, Oligocene, Bells Headland, Victoria, Australia ( McKenzie et al., 1991).

 

Latent roots

Latent vectors by rows

Root No.

Percent

1

2

3

4

5

1.

0.01306 (81.48%)

0.1627

0.2506

0.9270

0.1609

0.1596

2.

0.00244 (15.20%)

0.4782

0.5868

-0.3690

0.4752

0.2549

3.

0.00031 (1.94%)

0.0558

-0.6911

0.0012

0.5456

0.4708

4.

0.00015 (0.95%)

0.0480

0.0677

-0.0585

-0.6022

0.7919

5.

0.00007 (0.43%)

-0.8600

0.3327

-0.0330

0.2965

0.2467

 

TABLE 4. The "Peronian" components of the first latent vector for Brizalina for sampling levels of the Ikang borehole cores.

 

Depth of Sample

Components of the first latent vector

(in metres)

1

2

3

4

1718

0.387

0.367

0.764

0.365

1740

0.621

0.146

0.200

0.744

1763

0.621

0.383

0.307

0.611

1787

0.558

0.456

0.284

0.633

1810

0.628

0.182

0.096

0.751

 
Print Email

The modified application of Perron's theorem to evolutionary and palaeoecological studies of invertebrates in palaeobiology

Richard Arthur Reyment

Plain Language Abstract

This study applies uniquely to size-shape analyses of fossils. In this note we are concerned with microfossils (Ostracoda, Foraminifera) partly because of the relative ease with which adequate material can be obtained from boreholes over a registered time-interval. It is shown that the interpretation of the first (and largest) latent vector of a Perron matrix cannot be simply identified as a size factor and that it also encompasses a shape-element unless all the components of the first latent vector happen to be ones.

Resumen en Español

Una aplicación modificada del teorema de Perron a los estudios evolutivos y paleoecológicos de invertebrados en paleobiología

El teorema de Perron establece que entre las raíces y vectores latentes de una matriz real simétrica positiva A habrá un valor real positivo, a saber la raíz máxima, que tiene un vector latente positivo (es decir, que todos los componentes del mismo son positivos, x > 0) y que no es superado por ninguna otra raíz latente de la matriz. En un análisis tamaño-forma-tiempo de una especie de invertebrados fósil hay un elemento tensorial implicado que opera con tasas diferentes en direcciones diferentes y con ubicaciones típicas en un tejido. Cuando no está compuesto por un vector de unos, el primer vector latente incluye una expresión de variación de la forma. Cargas desiguales representan tasas diferentes de extensión en relación al tamaño general. Por tanto, para un vector con componentes positivos desiguales, cuanto mayor sea el aumento de tamaño, más divergirán las proporciones entre los elementos. Para ejemplificar esta aplicación del teorema de Perron se han utilizado datos de foraminíferos y ostrácodos.

Palabras clave: teorema de Perron, invertebrados, variación de la forma, paleobiología

Traducción: Miguel Company

Résumé en Français

Application modifiée du théorème de Perron aux études évolutives et paléoécologiques en paléobiologie des invertébrés.

Le théorème de Perron établi que parmi les racines latentes et les vecteurs de la valeur propre d'une matrice symétrique positive A, il y aura une valeur propre positive, à savoir la racine maximum, qui a un vecteur latent positif (i.e., dont tous les éléments sont positifs, x > 0) et qui n'est surpassé par aucune racine latente de la matrice. Dans les études des espèces d'invertébrés fossiles prenant en compte la taille, la forme et le temps, il y a un élément tensoriel impliqué qui opère de différentes manières, dans différentes directions et à des positions types dans un tissu. Si jamais il n'est pas composé d'un vecteur des uns, le premier vecteur latent inclus une expression de la variabilité de forme. Les charges inégales représentent des taux d'extension différents en relation avec la taille générale. Donc, pour un vecteur avec des composantes inégales signées positivement, plus la taille augmente, plus la proportion entre les éléments diverge. Des données sur les foraminifères et les ostracodes fossiles sont utilisées pour illustrer l'importance du théorème de Perron.

Mots clés: théorème de Perron, invertébrés, variation de forme, paléobiologie

Translator: Olivier Maridet

Deutsche Zusammenfassung

Die modifizierte Anwendung von Perron's Lehrsatz auf evolutionäre und paläontologische Studien zu Invertebraten in der Paläobiologie

Perron's Lehrsatz besagt, dass unter den latenten Wurzeln und Vektoren einer sicheren positiven symmetrischen Matrix A ein sicherer positiver Wert sein wird, das heißt die maximale Wurzel, die einen positiven latenten Vektor hat (d.h. alle Komponenten ..., x > 0) und die von keiner anderen latenten Wurzel in der Matrix übertroffen wird. In einer Größen-Form-Zeit Studie über eine fossile Invertebraten ist ein tensoriales Element involviert das mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten in unterschiedlichen Richtungen und bei typischen Orten in einem Gewebe funktioniert. Immer dann wenn mehrere Vektoren beteiligt, sind sagt der erste latente Vektor etwas zur Gestalts-Änderung aus. Unterschiedliche Aufteilung von Vektoren bedeutet verschiedene Extensionsraten im Verhältnis zur generellen Größe. Daher wird bei einem Vektor mit ungleich positiv signierten Komponenten Folgendes geschehen: je höher die Größenzunahme, desto mehr werden die Proportionen zwischen des Elementen divergieren. Es werden Daten von fossilen Foraminiferen und Ostrakoden verwendet, um die Bedeutung von Perron's Theorem zu veranschaulichen

Schlüsselwörter: Perron's Theorem, Invertebraten, Größenvariation, Paläobiologie,
verständliche Zusammenfasung

Translator: Eva Gebauer

Arabic

375 arab

Translator: Ashraf M.T. Elewa

 

 

author2Richard A. Reyment
Palaeozoological Section
Swedish Museum of Natural History
Box 50007
Stockholm
Sweden
This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Born on December 4, 1926, in Coburg, Vic., Australia. Holds the degrees of Filosofie Doktor (Stockholm, 1956) and D. Sc. (Melbourne, 1967). Former British Colonial servant. Academic appointments at Stockholm University, University of Ibadan (Nigeria), Uppsala University (Professor of Geology from 1967 to 1991). Fellow of the Royal Swedish Academy of Sciences, fellow of the Brazilian Academy of Sciences and furthermore.

Studies of random events in time (including volcanic outbreaks and earth tremors), the analysis of shape variation, applications of multivariate statistical analysis in geology and biology, including taxonomy, quantitative genetics and ecology. Several articles on quantitative linguistics (Tsiganology), and the genetic history of the Moors of the Iberian Peninsula, serological statistics, and the history of geology.

Current scientific activities are concerned with variability in invertebrates (geometric morphometrics), multivariate analysis of serological data, the analysis of recurrent morphotypes in ammonites, compositional multivariate statistical analysis in biology and geology and the application of the theory of point processes to volcanic activity.