Refined methods for estimating spirals and spiral deviations
Plain Language Abstract
Accumulated or accretionary growth abounds in nature and is often seen in the outlines of shells, beaks, teeth, and even the shape of marine headland-bay beaches. Most accretionary outlines have the curved shape of a logarithmic spiral. Fitting logarithmic spirals to actual outlines reveals otherwise unseen shape changes and cycles in growth that are important to taxonomic and paleoclimatic studies. Similar to counting tree rings, the cycles or periodicities seen in the deviations from spirals provide plausible age and growth rate estimates of the underlying accretion. However, the deviation pattern depends on the spiral shape being fitted. Change the spiral, and the spiral deviations change, sometimes markedly. Previously, the choice of spiral was limited to at most three forms. Described here is a family of 12 logarithmic spirals that represent many types of accretion. The supplementary R package logspiral generates and fits all 12 spirals, and includes a reference catalogue of examples. Comparing an actual accretionary outline to spirals in the catalogue, highlights and ranks all nearest matches. Fitting nearest spirals to the outline helps choose a best spiral and its associated spiral deviations. Rules of thumb continue to be both quick and reliable for a final choice of spiral.
Resumen en Español
In progress
Traducción: Francesco Gascó (Grupo de Biología Evolutiva, UNED y Sociedad Española de Paleontología) or Diana Elizabeth Fernández
Résumé en Français
In progress
Translator: Antoine Souron
Deutsche Zusammenfassung
Verfeinerte Methoden zur Schätzung von Spiralen und Spiralabweichungen
Logarithmische Spiralen passen nahezu perfekt zu den Umrissen vieler Akkretionsstrukturen. Die Spiralanpassung hat sich jüngst als effizient erweisen, um Formveränderungen und Wachstumsperiodizitäten zu erkennen, die für taxonomische und paläoklimatische Studien wichtig sind. Allerdings fehlen beim Anpassen Richtlinien für die Auswahl des Typs oder sogar eine beste Spirale für einen Umriss. Es wird hier eine Familie von zwölf logarithmischen Spiralen beschrieben, die viele Arten von Akkretion repräsentieren. Eine einfache logarithmische Spirale hat eine konstante Ausdehnungsrate relativ zu dem um eine Achse gedrehten Winkel. Zunehmende Komplexität führt zu elf weiteren logarithmischen Spiralen: drei sind stückweise logarithmische Spiralen, drei sind logarithmisch-polynomische Spiralen, ein Paar kombiniert logarithmische und logarithmisch-polynomische Spiralen, und drei sind Spiralen, die einen Übergang zwischen logarithmischen Segmenten aufweisen. Das Zusatzpaket R-Paket logspiral erzeugt und passt zu allen zwölf Spiralen und enthält einen umfassenden Katalog mit Beispielen.
Ein Vergleich tatsächlicher akkretionärer Umrisse mit Spiralen im Katalog betont alle passenden Übereinstimmungen in der Reihenfolge eines Ähnlichkeitsverhältnisses. Das Einpassen von Spiralen, die dem Umriss am nächsten liegen, hilft bei der Auswahl der besten Spirale und der damit verbundenen Spiralabweichungen. Heuristiken sind weiterhin sowohl schnell als auch zuverlässig für eine endgültige Wahl der Spirale. Die beste Spiralanpassung für einen Umriss ergibt oft ein Abweichungsmuster, das mit allen nächstgelegenen Spiralen überraschend konsistent ist. Der unmittelbare Wert einer anderen als einer einfachen logarithmischen Spirale liegt in der Erkennung von sonst schwer erkennbaren Bruchstellen und anderen Phasenänderungen im Wachstum, die die Gesamtform beeinflussen. Das Einbeziehen eines Phasenwechsels oder von Veränderungen in einer Spiralanpassung zeigt dann alle versteckten Zyklen oder Periodizitäten im Wachstum auf. Diese Periodizitäten werden als spiralförmige Abweichungen betrachtet, die ein jährliches und saisonales Wachstum darstellen.
Schlüsselwörter: Akkretion; logarithmisch; Bruchpunkt; Bent Cable; Periodizität; R Paket
Translator: Eva Gebauer
Arabic
Translator: Ashraf M.T. Elewa
Polski
Udoskonalone metody szacowania spirali i jej odchyleń
Spirale logarytmiczne są prawie idealnie dopasowane do konturów wielu struktur akrecyjnych. Niedawno okazało się, że dopasowanie spiralne skutecznie odzwierciedla zmiany kształtu i okresy wzrostu ważne dla badań taksonomicznych i paleoklimatycznych. Brak jednak wskazówek co do wyboru typu spirali, a nawet spirali najlepiej dopasowanej do obrysu. Opisano tutaj rodzinę 12 spiral logarytmicznych, reprezentujących wiele typów akrecji. Prosta spirala logarytmiczna ma jedną stałą szybkość rozszerzania w stosunku do kąta obróconego wokół osi. Rosnąca złożoność prowadzi do 11 kolejnych spirali logarytmicznych: trzy to odcinki spiralne logarytmiczne, trzy to spirale logarytmiczne wielomianowe, dwie łączą spirale logarytmiczne i logarytmiczne wielomianowe, a wreszcie trzy to spirale przejściowe między segmentami logarytmicznymi. Dodatkowy logspiral pakietu R generuje i pasuje do wszystkich 12 spiral i zawiera obszerny katalog przykładów.
Porównanie rzeczywistego zarysu akrecyjnego ze spiralami w katalogu podkreśla wszystkie najbliższe dopasowania, uszeregowane według współczynnika podobieństwa. Dopasowanie najbliższych spiral do konturu pomaga wybrać najlepszą spiralę i związane z nią odchylenia spiralne. Heurystyka pozostaje szybka i niezawodna przy ostatecznym wyborze spirali. Najlepsze dopasowanie spirali do konturu często daje wzór odchylenia, który jest zaskakująco zgodny ze wszystkimi najbliższymi spiralami. Bezpośrednia wartość innej niż prosta spirala logarytmiczna polega na wykrywaniu trudno dostrzegalnych punktów przerwania i innych zmian fazowych wzrostu, które wpływają na ogólny kształt. Włączenie zmiany fazy lub zmian w dopasowaniu spiralnym ujawnia wszelkie ukryte cykle lub okresowości wzrostu. Uważa się, że okresowości te, jako odchylenia spiralne, reprezentują roczny i sezonowy wzrost.
Słowa kluczowe: akrecja; logarytmiczna; punkt przerwania; zgięty kabel; okresowość; Pakiet R.
Translator: Krzysztof Stefaniak or Anna Żylińska
Russian
Усовершенствованные методы оценки спиралей и спиральных девиаций
Логарифмические спирали почти идеально подходят к контурам многих аккреционных структур. Недавнее использование спирали с целью выявления изменений формы и периодов роста были эффективными, что важно для таксономических и палеоклиматических исследований. Однако, для использования такого метода отсутствуют рекомендации касательно выбора типа или хотя бы одной лучшей формы спирали для разных контуров. Нами описаны 12 логарифмических спиралей, которые представляют много типов аккреций. Простая логарифмическая спираль имеет одну постоянную частоту расширения относительно угла, повернутого вокруг оси. Увеличение сложности порождает еще 11 типов логарифмических спиралей, три с которых являются кусочно-логарифмическими, три — лог-полиномиальными, две — комбинированными логарифмическими и лог-полиномиальными, а остальные три являются спиралями, для которых характерен переход между логарифмическими сегментами. Прилагаемый R пакет logspiral генерирует и использует все 12 спиралей и содержит детальный каталог примеров использования.
Сравнение реального аккреционного контура со спиралями в каталоге выделяет все наиболее близкие совпадения, упорядоченные по степени сходства. Согласование наиболее сходных спиралей с контуром помогает выбрать лучшую спираль и связанные с ней отклонения. Эвристика продолжает быть быстрой и достоверной для конечного выбора типа спирали. Наиболее подходящая к контуру спираль часто проявляет такую форму девиации, которая удивительным образом согласуется со всеми ближайшими типами спиралей. Непосредственное значение спиралей, отличающихся от простой логарифмической заключается в выявлении точек слома и изменений в фазах роста, имеющих влияние на общую форму и которых в противном случае трудно заметить. Включение изменения или нескольких изменений фазы в процесс выбора типа спирали позволяет позже обнаружить любые скрытие циклы или периодичности роста. Эти периодичности в виде девиаций спирали считаются такими, что отображают годовой или сезонный рост.
Ключевые слова: аккреция; логарифмический; точка слома; «изогнутый кабель»; периодичность; R пакет
Translator: Zoltán Barkaszi
Ukrainian
Удосконалені методи оцінки спіралей і спіральних девіацій
Логарифмічні спіралі майже ідеально підходять до контурів багатьох акреційних структур. Недавнє застосування спіралі для виявлення змін форми і періодів росту були ефективними, що важливо для таксономічних і палеокліматичних досліджень. Однак, для застосування такого методу відсутні рекомендації щодо вибору типу або хоча б одної найкращої форми спіралі для різних контурів. Нами описано 12 логарифмічних спіралей, що представляють багато типів акрецій. Проста логарифмічна спіраль має одну постійну частоту розширення відносно кута, поверненого навколо осі. Збільшення складності породжує ще 11 типів логарифмічних спіралей, три з яких є кусочно-логарифмічними, три — лог-поліноміальними, дві — комбінованими логарифмічними і лог-поліноміальними, а решта три є спіралями, що характеризуються переходом між логарифмічними сегментами. Доданий R пакет logspiral генерує і застосовує всі 12 типів спіралей та містить детальний каталог прикладів застосування.
Порівняння реального акреційного контуру зі спіралями у каталозі виділяє всі найближчі співпадіння, впорядковані за ступенем подібності. Узгодження найбільш подібних спіралей з контуром допомагає вибрати найкращу спіраль та пов’язані з нею відхилення. Евристика продовжує бути швидкою і достовірною для кінцевого вибору типу спіралі. Спіраль, що найкраще підходить до контуру, часто виявляє таку форму девації, яка напрочуд узгоджується з усіма найближчими типами спіралей. Безпосереднє значення спіралей, що відрізняються від простої логарифмічної полягає у виявленні точок зламу та інших змін у фазах росту, що впливають на загальну форму і яких в іншому випадку важко помітити. Включення зміни або декількох змін фази у процес вибору спіралі пізніше виявить будь-які приховані цикли або періодичності росту. Ці періодичності у вигляді девіацій спіралі вважаються такими, що відображають річний або сезонний ріст.
Ключові слова: акреція; логарифмічний; точка зламу, «зігнутий кабель»; періодичність; R пакет
Translator: Zoltán Barkaszi
